PHƯƠNG PHÁP
GIẢI MỘT DẠNG BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC
TRONG TAM GIÁC


(Bài viết có bổ sung)

PHẦN I . (Đã được đăng trong tạp chí TOÁN HỌC và TUỔI TRẺ số 357 tháng 3,2007)

Giả sử f(A,B,C) là biểu thức chứa các hàm số lượng giác của các góc tam giác ABC .
Giả sử các góc A,B,C thỏa mãn hai điều kiện:
1)
; hoặc
(1)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A=B.
2)
hoặc
(2)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi C=
.
Khi cộng (hoặc nhân) (1),(2) ta sẽ có BĐT :
(3)
hoặc
(4)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A = B = C.
Tương tự ta cũng có BĐT với chiều ngược lại.
Để minh họa cho phương pháp trên ta xét các bài toán sau đây .
Thí dụ 1. Chứng minh rằng với tam giác ABC ta luôn luôn có


Lời giải. Ta có:



(
.




(5) . ( Có dạng
) .
Tương tự
(6)
Cộng theo vế (5) và (6) ta có:

.


.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều.
Thí dụ 2. Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta luôn có:


Lời giải . Ta có:



=


.



(7) (Có dạng
).
Tương tự
(8)
Nhân theo vế (7) và (8) ta có





Suy ra
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều.
Thí dụ 3 . Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta luôn có:


Lời giải. Trường hợp tam giác ABC tù hoặc vuông .
Giả sử A = Max
, lúc đó
và
,Ta có


.


(9) (Có dạng
) .
Tương tự
(10)
Cộng theo vế của (9) và (10) ta có:




. (11)
Trường hợp tam giác ABC nhọn ,các BĐT (9) , (10) và (11) luôn đúng.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ tam giác ABC đều.
Thí dụ 4: Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta luôn có:
(cosA+sinA)(cosB+sinB)(cosC+sinC)

Lời giải. Ta có cosA+sinA)(cosB+sinB)(cosC+sinC)=
.
Nên BĐT đã cho viết lại dưới dạng :

(*)
Nếu Max
(
thì vế trái của biểu thức (*)không dương nên BĐT đã cho luôn đúng.
Nếu Max
(
thì
,
nên
=
(12) ( Có dạng
).
Tương tự
(13)
Do đó nhân theo vế của (12) và (13) và tương tự ta có :






Do đó (cosA+sinA)(cosB+sinB)(cosC+sinC)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều .
Mời các bạn tiếp tục giải các bài toán sau theo phương pháp trên.
Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC , ta đều có
Bài 1 .
.
Bài 2 .
( n là số thực dương) . .
Bài 3 .

.
Bài 4 . Chứng minh rằng với mọi tam giác nhọn ABC ,ta đều có:

.
PHẦN II. (Tiếp tục bổ sung giải 4 bài toán trên.)

Bài 1. Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC , ta đều có



Lời giải . Ta có
.
Mặt khác:

=

Do đó:
(14). ( Có dạng
)
Tương tự
(15)
Cộng theo vế (14) và (15) ta có:




Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giaca ABC đều.
Bài 2. Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC , ta đều có

( n là số thực dương)
Lời giải . Ta có:
(16)
( Có dạng
)
Tương tự
(17)
Cộng theo vế (16) và (17) ta có:

.



Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều.
Bài 3. Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC , ta đều có


.
Lời giải . Ta luôn luôn có :

(


Do đó:
=
(18).
(Có dạng
)
Tương tựï

(19).
Cộng theo vế (18) và (19